（本小题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组
名同学寒假假期中去
图书馆学习的次数和乙组
名同学寒假假期中去
图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以
表示．
（1）如果
，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；
（2）如果
，从学习次数大于
的学生中等可能地选
名同学，求选出的名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于
的概率．
（本小题满分12分）已知函数
，当
时，函数
的最大值为
.
（1）求函数
的值;
（2）若
，求
的值．
（本小题满分14分）已知函数
（
为常数且
）.
（1）求函数
的单调区间.
（2）若函数在点
处的切线与直线
相互垂直.
①求的值;
②在①的条件下，证明:对于任意的
，都有
成立.
（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若函数
在
上是增函数，求
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，求函数在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅲ）若存在
[1，e]，使得
成立，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）如图，圆
的方程为
，
是圆外一个定点，
是线段
的中点，
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线
和半径
所在直线相交于点
．
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求证：点的轨迹
为双曲线，并求轨迹的方程；
（Ⅱ）若
是双曲线的左顶点，设过双曲线右焦点
的直线与双曲线的右支交于
两点，其中点位于第一象限内．若直线
分别与直线
交于
两点，求证：
为定值；
（本小题满分12分）为了统计福州某地区网友2014年12月12日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该地区
名网友当天的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图1）：
若网购金额超过
千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为
．
（Ⅰ）试确定
，
，
，
的值，并补全频率分布直方图（如图2）．
（Ⅱ）为了进一步了解这
名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定
人，若需从这人中随机选取
人进行问卷调查．求进行问卷调查人中至少有2人是“非网购达人”的概率．