选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：＝经过伸缩变-优题课

题文

选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆：＝经过伸缩变换后得到曲线．
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，
建立极坐标系，直线的极坐标方程为·
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；
（2）在上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

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四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，过棱 $A B$ 的中点 $E$ 作平行于 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $B D, D C, C A$ 于点 $F, G, H$ .

（1）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形；
（2）求直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 夹角 $θ$ 的正弦值.

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A + \sin C = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值.

已知抛物线 $C : y = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$ ，且有 $|F A| = |F D|$ .当点 $A$ 的横坐标为时， $∆ A D F$ 为正三角形.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$ ，
（ⅰ）证明直线 $A E$ 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） $∆ A B E$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k (\frac{2}{x} + \ln x)$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828 . . .$ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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