在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD的延长线-优题课

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD的延长线上一点，且BM=DN，直线BD与MN相交于点E．

（1）如图1，当点M在线段BC上时，求证：BD-2DE=BM；
（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是____；
（3）在⑵的条件下，连接BN交AD于F，连接MF交BD于G，若DE=，且AF：FD=1：2，求线段DG的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质

如图，在 $ΔABC$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $D$ 、 $D^{'}$ 分别是 $AB$ 、 $A^{'} B^{'}$ 上一点， $\frac{AD}{AB} = \frac{A' D'}{A' B'}$ ．

（1）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{AB}{A' B'}$ 时，求证 $ΔABC ∽$ △ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当 $\frac{CD}{C' D'} = \frac{AC}{A' C'} = \frac{BC}{B' C'}$ 时，判断 $ΔABC$ 与△ $A^{'} B^{'} C'$ 是否相似，并说明理由．

小明和小丽先后从 $A$ 地出发沿同一直道去 $B$ 地．设小丽出发第 $xmin$ 时，小丽、小明离 $B$ 地的距离分别为 $y_{1} m$ 、 $y_{2} m$ ． $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数表达式是 $y_{1} = - 180 x + 2250$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式是 $y_{2} = - 10 x^{2} - 100 x + 2000$ ．

（1）小丽出发时，小明离 $A$ 地的距离为　　 $m$ ．

（2）小丽出发至小明到达 $B$ 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $D$ 是 $AB$ 上一点， $⊙ O$ 经过点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $DF / / BC$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

求证：（1）四边形 $DBCF$ 是平行四边形；

（2） $AF = EF$ ．

如图，在港口 $A$ 处的正东方向有两个相距 $6 km$ 的观测点 $B$ 、 $C$ ．一艘轮船从 $A$ 处出发，沿北偏东 $26 °$ 方向航行至 $D$ 处，在 $B$ 、 $C$ 处分别测得 $∠ ABD = 45 °$ 、 $∠ C = 37 °$ ．求轮船航行的距离 $AD$ ．（参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49$ ， $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ． $)$

甲、乙两人分别从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是 $A$ 、 $B$ 的概率；

（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．

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