现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是
和
（万元），它们与投入资金
(万元)的关系依次是：其中与平方根成正比，且当为4（万元）时为1（万元），又与成正比，当为4（万元）时也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．
（Ⅰ）分别求出，与的函数关系式；
（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE ， 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设
，
，
.
特例探索
（1）如图1，当∠
=45°，
时，= ，
；
如图2，当∠=30°，
时，= ， ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想
三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG， AD= 
，AB=3.求AF的长.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为
的中点，且∠DCF=∠P，求证：
.
如图，已知直线
与双曲线
交于A（
），B（
）两点（A与B不重合），直线AB与
轴交于P（
），与
轴交于点C.
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2）.求点P的坐标；
（2）若
，点
的坐标为（6，0），且
.求
两点的坐标；
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示
之间的关系（不要求证明）.
已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，S□ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′ 的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D两条对角线的长.