计算：-优题课

在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式 $- -$ 利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 $| a | = \{\begin{matrix} a (a ⩾ 0) \\ - a (a < 0) \end{matrix}$ ．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 $y = | kx - 3 | + b$ 中，当 $x = 2$ 时， $y = - 4$ ；当 $x = 0$ 时， $y = - 1$ ．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

（3）已知函 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $| kx - 3 | + b ⩽ \frac{1}{2} x - 3$ 的解集．

《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数 $-$ “纯数”．

定义；对于自然数 $n$ ，在计算 $n + (n + 1) + (n + 2)$ 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 $n$ 为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算 $32 + 33 + 34$ 时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算 $23 + 24 + 25$ 时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水 $\cdot$ 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组： $A$ ． $80 ⩽ x < 85$ ， $B$ ． $85 ⩽ x < 90$ ， $C$ ． $90 ⩽ x < 95$ ， $D$ ． $95 ⩽ x ⩽ 100)$ ，下面给出了部分信息：

七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82

八年级10名学生的竞赛成绩在 $C$ 组中的数据是：94，90，94

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	92	92
中位数	93	$b$
众数	$c$	100
方差	52	50.4

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀 $(x ⩾ 90)$ 的学生人数是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是 $BC$ 边上的中点，连结 $AD$ ， $BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）若 $∠ C = 36 °$ ，求 $∠ BAD$ 的度数；

（2）求证： $FB = FE$ ．

抛物线 $y = - \frac{\sqrt{6}}{6} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{6}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接 $CD$ ，求线段 $CD$ 的长；

（2）如图2，点 $P$ 是直线 $AC$ 上方抛物线上一点， $PF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ， $PF$ 与线段 $AC$ 交于点 $E$ ；将线段 $OB$ 沿 $x$ 轴左右平移，线段 $OB$ 的对应线段是 $O_{1} B_{1}$ ，当 $PE + \frac{1}{2} EC$ 的值最大时，求四边形 $P O_{1} B_{1} C$ 周长的最小值，并求出对应的点 $O_{1}$ 的坐标；

（3）如图3，点 $H$ 是线段 $AB$ 的中点，连接 $CH$ ，将 $ΔOBC$ 沿直线 $CH$ 翻折至△ $O_{2} B_{2} C$ 的位置，再将△ $O_{2} B_{2} C$ 绕点 $B_{2}$ 旋转一周，在旋转过程中，点 $O_{2}$ ， $C$ 的对应点分别是点 $O_{3}$ ， $C_{1}$ ，直线 $O_{3} C_{1}$ 分别与直线 $AC$ ， $x$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ．那么，在△ $O_{2} B_{2} C$ 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 $ΔAMN$ 是以 $MN$ 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 $O_{2} M$ 的长；若不存在，请说明理由．