某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，-优题课

题文

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

P（ K ²≥ k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45 °$ ， $A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点， $P O ⊥ 平面 A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点．

（Ⅰ）证明： $P B ∥ 平面 A C M$ ；
（Ⅱ）证明： $A D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅲ）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $B = C, 2 b = \sqrt{3} a$ ．

(Ⅰ)求 $\cos A$ 的值；
(Ⅱ) $\cos (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

编号为 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	$A_{9}$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40]$
人数

（Ⅱ）从得分在区间 $[20, 30)$ 内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

设 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = f (x) + f^{`} (x)$ ．
（Ⅰ）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；
（Ⅲ）求 $a$ 的取值范围，使得 $g (a) - g (x) < \frac{1}{a}$ 对任意 $x > 0$ 成立．

如图， $A$ 地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，现随机抽取100位从 $A$ 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择 $L_{1}$ 的人数	6	12	18	12	12
选择 $L_{2}$ 的人数	0	4	16	16	4

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

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